Joaquim Curto

Buenas, hoy vengo un poco tarde, ya sabéis, entre lavar los platos y arreglar la cocina… Pero mañana no tengo clase, así que puedos escribiros algo. Que tal me ha ido el día? Pues muy bien, ha sido un buen día. Que os voy a contar hoy? Me apetece hablaros sobre los límites en , a mi me hubiese gustado que alguien me lo hubiera explicado bien en el momento adecuado, así que voy a intentar hacerlo de la manera que a mi me hubiese gustado que me lo explicaran.

Límites en , Introducción y conceptos generales.

A ver…un momento. Primero, qué era un límite en , es decir, qué demonios es un límite de cálculo? En cálculo, trabajabamos en , lo que quiere decir, que nuestras ‘x’s’ podian coger valores de los reales, léase de - a y la y, pues lo mismo, mi ‘y’ podía coger valores de - a . Vale, muy bien, esto que dices es muy básico. Sí, lo és, pero tenlo siempre en la cabeza, no te dejes llevar por la notación matemática.

siempre te dice que tienes ‘algo’ variables, por ejemplo x,y,z con , que pueden tomar valores reales cada una de ellas. Una vez esto claro, qué quería decir que calculábamo un límite en un punto de ? Pues básicamente quiere decir que te acercas al punto. Como puedes acercarte en ? Pues muy fácil, te puedes acercar por la izquierda y te puedes acercar por la derecha. Ya está. Y, que decíamos? pues una cosa evidente, si yo me acerco a un punto por la izquierda y me una valor, y me acerco por la derecha y me da otro valor. Si esos valores son el mismo, que ocurre en el 90% de los casos, entonces el límite existe y vale ese valor.

Un límite lo puedes calcular en cualquier punto, lo que pasa es que en puntos normales ese límite por la izquierda y por la derecha valdrá lo mismo, y de hecho, coincidirà con el valor de f(punto), pero en puntos donde la funcion tiene ‘problemas’, léase como saltos, asímptotas…, es posible que eso no ocurra.

Por qué? Pues hombre, imagínate que te acercas a la libreria de la calle de atrás de tu casa por la izquierda y, otro dia, decides ir por la derecha. Lo normal es que te acerques como te acerques encuentres la librería. Pero hay funciones ‘raras’, a las que, en ciertos puntos, les pasan cosas ‘raras’. Imagínate el caso análogo de la libreria, pero que, debido a un terremeto de magnitud 5 en la escala de Richter, la tienda ha desparecido, se ha volatilizado. Tu te acercas por la izquierda y encuentras media tienda, y interpretas que la tienda existe. Pero te acercas por la derecha, y ves un hueco lleno de magma que va a las entrañas de la tierra. Está claro que pensarías que la tienda no existe. Pues bien, lo mismo piensas con los límites.

Que pasará en R_{3}?, donde bàsicamente se hacen todos los problemas de cálculo 2 o análisi vectorial. Pues ahora pensemos, que ha cambiado? pues estamos en 3 dimensiones. Y eso que significa? imaginate el puntito de , tu te podías acercar por la izquierda de las x’s, o por la derecha de las x’s. Qué pasa en ? Pues tenemos dos variables independientes, la x, y la y. Sí, piensa esto un momento, es una chorrada, pero es importante. El papel que hacía x, en , era que dada y(x), al tu dar una x, por ejemplo 3, inmediatamante, y(3) estaba definida y valía un valor.Estaba claro que si daba otra x, por ejemplo 4, y(4) cambiaba su valor, por eso decíamos que x era la variable independiente y la y la dependiente, porque dada x, y dependía del valor de x.

Ahora Z (Z(x,y)), valdrà una cosa u otra dependiendo de x e y. Z(x,y), básicamente significa, que dada una x y una y, mi función me da una z, una altura. Imagínate que en mi suelo, en el plano x,y, me dan un punto, por ejemplo (2,3) y entonces lo meto en la expresión de mi función Z(x,y). Pues esta función me da inmediatamente una altura. Si lo hago con muchos puntos, tengo muchas alturas, que me definen una superfície en ?. Es decir, una especie de sábana. A puntos de esas sábanas es a lo que nosotros ahora le haremos el límite.

Y cuál es la diferencia esencial, pues que donde antes, tenia sólo izquierda y derecha, ahora tengo infinitas posibilidades, por qué?, porque me puedo mover por todo mi suelo, por todas mis x’s y mis y’s para acercarme a un punto de mis x’s i mis y’s. Es decir, para acercarme a un punto de (x,y), siendo x e y mis variables independientes en , ahora ya no sólo tengo la recta R de las x’s, siendo x mi antigua variable independiente en , sino que si me da la gana comenzar a dar vueltas por el suelo antes de llegar al punto, pues lo puedo hacer. Si quiero ir con una recta lo puedo hacer, pero si me apetece distraerme y pillar una parábola (recuerda que tengo todo el plano x,y, para inventarme una forma de acercame al punto) pues también vale.

Pues eso, tenemos INFINITAS formas de acercarnos a nuestro punto, es decir, nuestro límite ya no se parte en dos, como en cálculo, donde mirábamos los límites laterales. Y qué pasa con esto? Pues primera cosa importantísima. De la misma forma que antes, si en , me acercaba por la izquierda y por la derecha y me daba diferente, entonces el límite no existía. Pues bien, ahora, lo mismo: Si de las infinitas formas de acercarme a mi punto, escojo dos, las que me dan más rabia, y cuando hago el límite a mi punto, es decir, me acerco a mi punto, me dan valores diferentes, entonces el límite no puede existir. Porque si existe, el límite siempre es único.

Un limite no puede tener dos valores distintos, si existe vale un número, si no, no vale nada. Bien, esto es importantísimo. No me vale que sepáis hacer cincuenta formas de resolver un límite y no sepáis esto: sin esto claro no lo haréis bien. Un límite al fin y al cabo es acercarse a un punto, y si me acerco al mismo sitio de dos formas diferente, en bus o en metro, el límite ha de dar lo mismo, sinó es que ese limite no existe. Una vez entendido esto, lo otro es simplemente aplicar el método. Pero se tiene que entender.

Hay distintas técnicas de cálculo de límites, los llamados iterados, los límites por curvas, las polares (éstas son la caña!), las acotaciones (solo me dicen si el límite vale 0, si no existe o es un numero esto no sirve para nada) y después hay técnicas raras de idea feliz o suerte. Os explicaré paso a paso cada una, pero una vez has entendido lo que estamos haciendo, no tiene ninguna complicación aplicar las fórmulas.

Por ejemplo, cuando decimos que hacemos un límite por curvas escogiendo como curva rectas. Haremos el límite en plan genérico, no calcularemos infinitas veces el límite cambiando la pendiente, sinó que pondremos una pendiente genérica, para algo están los parámetros, y veremos que sucede. Calcularemos el límite como si fuese un límite de calculo 1. Entonces, si no entendemos lo que hacemos, nos aprenderíamos de memoria que hacer, pero si habéis entendido la teoria, realmente es sencillo. Si yo me aproximo por infinitas rectas diferentes, y me da un valor, entonces no puedo decir nada, porque podría pasar que yo me acercara a ese punto de una manera distinta, por ejemplo a través de una parábola, y mira, por casualidades del destino, me diese otro valor.

Por lo tanto, si hago rectas y me da un número, sólo puedo decir que si el límite existiese, valdría ese número (porque el límite si existe es único!), pero, nunca podré asegurar solo a partir de este método que un límite existe. Ahora bien, si cuando yo hago el límite me queda en función de mi parámetro, es decir, desaparece todo lo otro y queda algo del estilo , que significa? pues pensemos, me he acercado a traves de infinitas curvas, y el resultado me dice que el límite, depende del valor de la pendiente de esa curva, es decir, que para cada curva el límite vale un valor distinto al de la otra, me tomas el pelo, no puede ser, porque si el límite existe, es único, por lo tanto, si depende de m, quiere decir que si me acerco de formas diferentes el límite da diferente, y por lo tanto NO EXISTE.

Como vemos, acercarme de formas diferente sólo sirve para demostrar que el límite no existe, nunca podremos decir que el límite existe acercándonos de formas diferentes. Es decir, si nos da un número acercándonos por infinitas rectas no digáis que el limite es ese número. Es cierto, que si el límite existe dará ese número, pero no sabemos si existe o no ese límite (a menos que el hipotético enunciado te dijese que el límite seguro q existe y sólo queremos saber su valor), debemos aplicar otra técnica que si que nos permita demostrar su existencia y por lo tanto, también su valor. Entendido? Ok.

Muy bien, esto es básicamente lo más importante sobre límites en . En otra entrega posterior os explicaré más en profundidad todas las técnicas, veréis que son fáciles. Una vez entendido el concepto general, las técnicas sólo te las has de aprender y razonar dependiendo lo que te dé, es simplemente mecánico. A menos que el límite sea muy difícil, y tengas la suerte que el dia del examen la virgen se te aparezca y encuentres la manera de hacerlo. PERO, casi SIEMPRE con éstas técnicas podrás resolverlo.

Próxima entrega: Técnicas para calcular límites en R^{3}.